Независимые обороты можно переводить:
русскими придаточными обстоятельственными времени, условия и сопутствующих обстоятельств.
The weather being cold the children stayed at home.
Поскольку погода была холодная, дети остались дома.Частью сложносочиненного предложения отделенной от основного предложения точкой с запятой.
They walked in the park, with John smoking his pipe.
Они гуляли в парке; Джон курил трубку.Русским деепричастием.
She comes into the room, the revolver in her hand.
Она вошла в комнату, держа в руке револьвер.Существительным с предлогом.
He comes into the room, his revolver in his hand.
Он вошел в комнату с револьвером в руках.
Note: Иногда можно встретить комбинацию независимого причастного оборота и оборота there is.
Поскольку в аудитории не было доски, мы не могли в ней заниматься.
There being no blackboard in the classroom, we could not have a lesson there.
Здесь причастие глагола to be никогда не опускается.