The weather being cold, the children stayed at home.
The sun having set, they make a fire.
The talkes failing, the war will continue.
He left the room, the dog following him.
На первый взгляд выглядит частью сложно-сочиненного предложения, отделенной запятой от другой части, но на самом деле вместо сказуемого у него стоит причастие, что в дословном переводе дает нелепые фразы типа Погода будучи холодной, дети остались дома.
Независимый причастный оборот используется в функции четырех видов обстоятельств - причины, времени, условия, сопуствующих обстоятельств. Переводы для примеров:
Поскольку погода была холодной, дети остались дома.
Когда солнце село, они развели огонь.
Если переговоры закончатся неудачей, война продолжится.
Он вышел из комнаты; собака последовала за ним.
Note:
Следует иметь в виду, что независимый причастный оборот может употребляться с предлогом with, что совершенно не влияет на его перевод.
They walked in the park with John smoking his pipe
-
Причастие от to be (being) может быть опущено.
He came into the room, a gun in his hand.
See The Absolute constructions for more information