Каждое предложение можно рассматривать как логическое высказывание. В предложении основой являются грамматическое подлежащие и грамматическое сказуемое, а логическом высказывании - субъект и логический предикат.
Если субъект соответствует грамматическому подлежащему, а логический предикат грамматическому сказуемому, мы имеем дело с прямой предикативной зависимостью, т.е. с обычным предложением.
Это всегда так в русском языке, в котором нет вторичной предикативной зависимости.
Когда субъект не соответствует подлежащему, а логический предикат не соответствует сказуемому, мы имеем дело с вторичной предикативной зависимостью - это и есть конструкция.
They walked in the park, with John smoking his pipe.
Они гуляли в парке; Джон курил трубку.
I saw him crossing the street.
Я видел, как он переходил улицу.